¿QUE ES UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA?

Objetivos:

• Gráfica y resuelve sistemas de  ecuaciones empleando cualquiera de los métodos conocidos.
• Identifica y gráfica funciones. 
• Reconoce y utilizar los métodos y artefactos tecnológicos para solucionar funciones cuadráticas. 

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Es una función de la forma f(x) = ax² + bx + c con a, b, c ϵ R y a diferente de 0

Gráficamente la curva que representa a una función cuadrática es una Parábola.

EJEMPLOS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS:

Estructuras de puentes.

Libera juegos parabólicos.

En nuestro cuarto

Cuando lanzamos piedras o papeles.

 En los juegos de xbox, celular, tabletas o computador.

Son amplia mente usadas en las ciencias, los negocios y la ingeniería (pueden describir la trayectoria de chorros de agua en una fuente, los cables colgante entre los postes, el lanzamiento de un papel y el rebotar de una pelota, entre otros,  o pueden ser incorporadas en estructuras como las reflectores parabólicos, faros, puentes, cables, etc.

Ayuda a predecir ganancias o pérdidas en los negocios.

Elementos de la Parábola:

1.      ABERTURA: la determina el signo del coeficiente de  ax²

a)      Si a > 0, a positivo, la parábola abre hacia arriba y podemos encontrar un mínimo.

b)      Si a < 0, a negativo, la parábola abre hacia abajo y podemos encontrar un máximo.

2.      VERTICE: es el punto V=(h,K), donde,          h= - b / 2a      y      k = f(-b / 2a)

             

3.      EJE DE SIMETRIA: Es la recta que pasa por el vértice y es paralela al eje Y.

4.      INTERCEPTO CON EL EJE Y: es el punto (0,c), dicho valor se halla al remplazar x por cero en la expresión.

5.      INTERCEPTO CON EL EJE X: Son puntos de corte de la gráfica con el eje x y se hallan al sustituir y por cero en la expresión.

Una función cuadrática tiene diferentes representaciones gráficas, dependiendo de los valores de a, b y c.

Casos que se pueden presentar al trabajar ecuaciones cuadráticas.

CASO I: f(x) = ax², donde b = 0 y c = 0.

CASO II:  f(x) = ax² + c, donde b = 0.

CASO III: f(x) = ax² + bx, donde c = 0

CASO IV:  f(x) = ax² + bx + c

CASO I: f(x) = ax², donde b = 0 y c = 0.

La gráfica es un parábola cuyo vértice se encuentra ubicado en el punto P(0,0) y pasa por los puntos (-1,a) y (1,a).

Ejemplo: Realizar la tabla de valores y graficar la siguiente función cuadrática. Determine el vértice, posición de su abertura, el intercepto con el eje x e y.

Compare la gráfica obtenida con la realizada en el programa Geogebra en el celular.

Función f(x)=x², o sea Y=x².

TABLA DE VALORES:
Para realizar mas rápidamente el ejercicio, compararemos los valores de la tabla extraída en la calculadora científica con los valores obtenidos manualmente.

x	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
y	16	9	4	1	0	1	4	9	16

f(-4 ) = x² = (-4)²= -4 x-4 = 16

f(-3 ) = x² = (-3)²= -3 x-3 = 9

f(-2 ) = x² = (-2)²= -2 x-2 = 4

f(-1 ) = x² = (-1)²= -1 x-1 = 1

f(0 ) = x² = (0)²= 0 x 0 = 0

f(1 ) = x² = (1)²= 1 x 1 = 1

f(2 ) = x² = (2)²= 2 x 2 = 4

f(3 ) = x² = (3)²= 3 x 3 = 9

f(4 ) = x² = (4)²= 4 x 4 = 16

Ahora dibujaremos manualmente la grafica y despues la compararemos con la generada por el software de Geogebra, sabiendo que......

a>0, a = 1, la gráfica abre hacia arriba.
Vértice → V = (0,0)

Intercepto con el eje Y = (0,0); no tiene puntos de corte con el eje x.


EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS:

Para los siguientes ejercicios realice su respectiva tabla de valores, su gráfica y diga como abre la parábola, escriba su intercepto con el eje x e y, y muestre su vértice.

1.      Y= -x²

2.      Y = 3x²

3.      Y = -5x²

4.      Y = -4/3 x²

5    Y =   -0,5 X ²